応答スペクトルのバックアップ(No.1)

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応答スペクトル †

フーリエスペクトル解析は地震動そのものの特徴を明らかにする解析手法であり，観測地震動に寄与する震源特性，伝播経路特性，表層地盤増幅特性などをスペクトル上で分離し，個別に評価することが可能である．一方，地表で観測された地震動を構造物に対する入力という立場で取り扱う場合，構造物の応答にどのように影響するか，という点を明らかにできるような解析方法が求められる．応答スペクトル解析は，固有周期や減衰特性などの応答特性がある程度わかっている人工構造物に対する地震動の影響を定量的に把握するために用いられる．

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1. インパルス応答関数 †

構造物の応答特性を表す最も基本的なモデルとして，次式のような1質点減衰系 x(t) の自由振動モデルを考える．

$m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+kx(t)=0$

ここでは質点の質量，は減衰係数，はばね定数である．または質点の変位で， $\dot{x}$ は時間微分を表す．上式は， x(0)=0 , $\dot{x}(0)=C$ の初期条件のもとで次式のように解ける．

$x(t)=\frac{C}{\omega_d}e^{-h\omega t}\sin \omega_dt$

ただし $\omega=\sqrt{k/m}$ ， $h=c/(2\sqrt{km})$ ，さらに $\omega_d=\omega\sqrt{1-h^2}$ である．また， h<1 を仮定している．は減衰定数と呼ばれ，減衰の特性を示す際にはよりも一般的によく用いられる．また $\omega$ は固有円振動数， $\omega_d$ は減衰固有円振動数である． C=1/m と置いたときの相対変位応答は特に力積（インパルス）応答関数と呼ばれる．任意の加速度波形入力 $\ddot{y}(t)$ に対する1質点減衰系の変位応答は，インパルス応答との重畳積分を取ることで次式のように得られる（ただし，力の形で入力することから質量はキャンセルされる）．

$\begin{align} x(t)&=\int_0^t\ddot{y}(\tau)\zeta(t-\tau)d\tau \\ \zeta(t)&=-\frac{1}{\omega_d}e^{-h\omega t}\sin\omega_d t \end{align}$

同様に相対速度応答 $\dot{x}(t)$ ，および絶対加速度応答 $\ddot{x}(t)+\ddot{y}(t)$ はそれぞれ次式で表される．

$\begin{align} \dot{x}(t)&=\int_0^t\ddot{y}(\tau)\dot{\zeta(t-\tau)}d\tau \\ \dot{\zeta(t)}&=-e^{-h\omega t}\left[\cos\omega_d t-\frac{h}{\sqrt{1-h^2}}\sin \omega_d t \right] \end{align}$

$\ddot{x}(t)+\ddot{y}(t)=\int_0^t\ddot{y}(\tau)\ddot{\zeta}(t-\tau)d\tau$

$\ddot{\zeta}(t)=\omega_d e^{-h\omega t}\left[ \left( 1-\frac{h^2}{1-h^2} \right) \sin\omega_d t+\frac{2h}{\sqrt{1-h^2}}\cos \omega_d t \right]$

すなわち，1質点減衰系の応答は入力地震動 $\ddot{y}(t)$ と系の固有周期 $T=(2\pi)/\omega$ ，および減衰定数により完全に記述できる．

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5. フーリエスペクトルと応答スペクトル，エネルギースペクトルの関係 †

参考文献大崎順彦：新・地震動のスペクトル解析入門, 鹿島出版会　日野幹雄：スペクトル解析, 朝倉書店　秋山宏：建築物の耐震極限設計, 東京大学出版会　理論地震動研究会：地震動‐その合成と波形処理‐，鹿島出版会

応答スペクトル のバックアップ(No.1)